Тесселяция: исследование математики повторяющихся узоров

Тесселяция, также известная как замощение или паркетаж, — это покрытие поверхности одной или несколькими геометрическими фигурами, называемыми плитками, без наложений и зазоров. С математической точки зрения это увлекательная область, связывающая геометрию, искусство и даже физику. В этой статье представлено всестороннее исследование тесселяций, охватывающее их математические основы, исторический контекст, художественное применение и примеры из реального мира.

Что такое тесселяция?

По своей сути тесселяция — это узор, образованный повторением одной или нескольких фигур для покрытия плоскости. Ключевыми характеристиками являются:

• Без зазоров: Плитки должны идеально прилегать друг к другу, не оставляя пустых пространств.
• Без наложений: Плитки не могут перекрывать друг друга.
• Полное покрытие: Плитки должны покрывать всю поверхность.

Тесселяции можно классифицировать в зависимости от типов используемых фигур и способа их расположения. Простые тесселяции включают одну фигуру, в то время как сложные тесселяции используют несколько фигур.

Виды тесселяций

Тесселяции можно условно разделить на следующие категории:

Правильные тесселяции

Правильная тесселяция состоит только из одного типа правильных многоугольников (многоугольников, у которых все стороны и углы равны). Существует только три правильных многоугольника, которыми можно замостить плоскость:

• Равносторонние треугольники: Они образуют очень распространённую и устойчивую тесселяцию. Представьте себе треугольные опорные конструкции в мостах или расположение атомов в некоторых кристаллических решётках.
• Квадраты: Возможно, самая вездесущая тесселяция, встречающаяся в напольной плитке, миллиметровой бумаге и городских планировках по всему миру. Идеально ортогональная природа квадратов делает их идеальными для практического применения.
• Правильные шестиугольники: Встречаются в пчелиных сотах и некоторых молекулярных структурах, шестиугольники обеспечивают эффективное использование пространства и структурную целостность. Их шестикратная симметрия предлагает уникальные свойства.

Эти три — единственно возможные правильные тесселяции, потому что внутренний угол многоугольника должен быть делителем 360 градусов, чтобы сходиться в одной вершине. Например, у равностороннего треугольника углы равны 60 градусам, и шесть треугольников могут сойтись в одной точке (6 * 60 = 360). У квадрата углы 90 градусов, и в одной точке могут сойтись четыре квадрата. У шестиугольника углы 120 градусов, и в одной точке могут сойтись три. Правильный пятиугольник с углами 108 градусов не может создавать тесселяцию, потому что 360 не делится нацело на 108.

Полуправильные тесселяции

Полуправильные тесселяции (также называемые архимедовыми) используют два или более различных правильных многоугольника. Расположение многоугольников в каждой вершине должно быть одинаковым. Существует восемь возможных полуправильных тесселяций:

• Треугольник-квадрат-квадрат (3.4.4.6)
• Треугольник-квадрат-шестиугольник (3.6.3.6)
• Треугольник-треугольник-квадрат-квадрат (3.3.4.3.4)
• Треугольник-треугольник-треугольник-квадрат (3.3.3.4.4)
• Треугольник-треугольник-треугольник-треугольник-шестиугольник (3.3.3.3.6)
• Квадрат-квадрат-квадрат (4.8.8)
• Треугольник-двенадцатиугольник-двенадцатиугольник (4.6.12)
• Треугольник-квадрат-двенадцатиугольник (3.12.12)

Запись в скобках представляет порядок многоугольников вокруг вершины по часовой или против часовой стрелки.

Неправильные тесселяции

Неправильные тесселяции образуются неправильными многоугольниками (многоугольниками, у которых стороны и углы не равны). Любой треугольник или четырёхугольник (выпуклый или вогнутый) может замостить плоскость. Эта гибкость позволяет использовать их в широком спектре художественных и практических приложений.

Апериодические тесселяции

Апериодические тесселяции — это замощения, использующие определённый набор плиток, которыми можно замостить плоскость только непериодически. Это означает, что узор никогда не повторяется в точности. Самым известным примером является мозаика Пенроуза, открытая Роджером Пенроузом в 1970-х годах. Мозаики Пенроуза апериодичны и используют два разных ромба. Эти замощения обладают интересными математическими свойствами и были обнаружены в неожиданных местах, например, в узорах на некоторых древних исламских зданиях.

Математические принципы тесселяций

Понимание математики, лежащей в основе тесселяций, включает в себя понятия из геометрии, такие как углы, многоугольники и симметрия. Ключевой принцип заключается в том, что сумма углов вокруг вершины должна составлять 360 градусов.

Свойство суммы углов

Как уже упоминалось, сумма углов в каждой вершине должна равняться 360 градусам. Этот принцип определяет, какие многоугольники могут образовывать тесселяции. Внутренние углы правильных многоугольников должны быть делителями 360.

Симметрия

Симметрия играет ключевую роль в тесселяциях. В тесселяции могут присутствовать несколько типов симметрии:

• Параллельный перенос: Узор можно сдвинуть (перенести) вдоль прямой, и он останется прежним.
• Вращение: Узор можно повернуть вокруг точки, и он останется прежним.
• Отражение: Узор можно отразить относительно прямой, и он останется прежним.
• Скользящее отражение: Комбинация отражения и параллельного переноса.

Эти симметрии описываются так называемыми орнаментальными группами. Существует 17 орнаментальных групп, каждая из которых представляет уникальную комбинацию симметрий, которые могут существовать в двумерном повторяющемся узоре. Понимание орнаментальных групп позволяет математикам и художникам систематически классифицировать и создавать различные типы тесселяций.

Евклидова и неевклидова геометрия

Традиционно тесселяции изучаются в рамках евклидовой геометрии, которая имеет дело с плоскими поверхностями. Однако тесселяции также можно исследовать в неевклидовых геометриях, таких как гиперболическая геометрия. В гиперболической геометрии параллельные прямые расходятся, а сумма углов в треугольнике меньше 180 градусов. Это позволяет создавать тесселяции с многоугольниками, которые были бы невозможны в евклидовом пространстве. М.К. Эшер знаменито исследовал гиперболические тесселяции в своих поздних работах при содействии математических идей Г.С.М. Коксетера.

Историческое и культурное значение

Использование тесселяций восходит к древним цивилизациям и встречается в различных формах искусства, архитектуры и декоративных узоров по всему миру.

Древние цивилизации

• Древний Рим: Римские мозаики часто содержат сложные тесселяции, использующие маленькие цветные плитки (тессеры) для создания декоративных узоров и изображений сцен. Эти мозаики были найдены по всей Римской империи, от Италии до Северной Африки и Британии.
• Древняя Греция: Греческая архитектура и керамика часто включают геометрические узоры и тесселяции. Например, меандровые узоры — это форма тесселяции, которая часто встречается в греческом искусстве.
• Исламское искусство: Исламское искусство славится своими сложными геометрическими узорами и тесселяциями. Использование тесселяций в исламском искусстве коренится в религиозных убеждениях, которые подчеркивают бесконечность и единство всего сущего. Мечети и дворцы по всему исламскому миру демонстрируют потрясающие примеры тесселяций с использованием различных геометрических фигур. Дворец Альгамбра в Гранаде, Испания, является ярким примером, с его сложными мозаиками и плиткой с разнообразными тесселированными узорами.

Современные применения

Тесселяции остаются актуальными и в наше время, находя применение в различных областях:

• Архитектура: Тесселированные поверхности используются в фасадах зданий, крышах и дизайне интерьеров для создания визуально привлекательных и конструктивно прочных сооружений. Примером может служить проект «Эдем» в Корнуолле, Великобритания, с его геодезическими куполами, состоящими из шестиугольных панелей.
• Компьютерная графика: Тесселяция — это техника, используемая в компьютерной графике для увеличения детализации 3D-моделей путем разделения полигонов на более мелкие. Это позволяет получить более гладкие поверхности и более реалистичные рендеры.
• Дизайн текстиля: Тесселяции используются в дизайне текстиля для создания повторяющихся узоров на тканях. Эти узоры могут варьироваться от простых геометрических орнаментов до сложных и замысловатых мотивов.
• Упаковка: Тесселяции могут использоваться для эффективной упаковки продуктов, минимизируя отходы и максимизируя использование пространства.
• Наука: Тесселирующие формы встречаются в природе, например, шестиугольные ячейки пчелиных сот или чешуя некоторых рыб. Понимание тесселяций помогает ученым моделировать и понимать эти природные явления.

Примеры тесселяций в искусстве и природе

Тесселяции — это не просто математические концепции; они также встречаются в искусстве и природе, служа источником вдохновения и находя практическое применение.

М.К. Эшер

Мауриц Корнелис Эшер (1898-1972) — голландский художник-график, известный своими математически вдохновленными гравюрами на дереве, литографиями и меццо-тинто. В работах Эшера часто встречаются тесселяции, невозможные конструкции и исследования бесконечности. Он был очарован концепцией тесселяции и широко использовал её в своем искусстве для создания визуально ошеломляющих и интеллектуально стимулирующих произведений. Его работы, такие как "Рептилии", "Небо и вода" и "Предел в круге III", являются знаменитыми примерами тесселяций, трансформирующихся в различные формы и исследующих границы восприятия. Его творчество стало мостом между математикой и искусством, делая математические концепции доступными и увлекательными для широкой аудитории.

Пчелиные соты

Пчелиные соты — это классический пример природной тесселяции. Пчёлы строят свои соты из шестиугольных ячеек, которые идеально подходят друг к другу, создавая прочную и эффективную структуру. Шестиугольная форма максимизирует количество мёда, которое можно хранить, при минимизации количества воска, необходимого для постройки сот. Такое эффективное использование ресурсов является свидетельством эволюционных преимуществ тесселированных структур.

Пятна жирафа

Пятна на жирафе, хотя и не являются идеальными тесселяциями, демонстрируют узор, напоминающий тесселяцию. Неправильные формы пятен соединяются таким образом, что эффективно покрывают тело жирафа. Этот узор обеспечивает камуфляж, помогая жирафу сливаться с окружающей средой. Хотя пятна различаются по размеру и форме, их расположение демонстрирует природный тесселяционный узор.

Фрактальные тесселяции

Фрактальные тесселяции сочетают в себе принципы фракталов и тесселяций для создания сложных и самоподобных узоров. Фракталы — это геометрические фигуры, которые демонстрируют самоподобие на разных масштабах. Когда фракталы используются в качестве плиток в тесселяции, результирующий узор может быть бесконечно сложным и визуально ошеломляющим. Такие типы тесселяций можно найти в математических визуализациях и компьютерном искусстве. Примеры фрактальных тесселяций включают те, что основаны на треугольнике Серпинского или снежинке Коха.

Как создать собственную тесселяцию

Создание тесселяций может быть увлекательным и познавательным занятием. Вот несколько простых техник, которые вы можете использовать для создания собственных тесселяций:

Базовый метод переноса

1. Начните с квадрата: Возьмите квадратный лист бумаги или картона.
2. Вырежьте и перенесите: Вырежьте фигуру с одной стороны квадрата. Затем перенесите (сдвиньте) эту фигуру на противоположную сторону и прикрепите её.
3. Повторите: Повторите процесс для двух других сторон квадрата.
4. Замостите: Теперь у вас есть плитка, которой можно замостить плоскость. Обводите плитку многократно на листе бумаги, чтобы создать тесселированный узор.

Метод вращения

1. Начните с фигуры: Возьмите правильный многоугольник, например, квадрат или равносторонний треугольник.
2. Вырежьте и поверните: Вырежьте фигуру с одной стороны многоугольника. Затем поверните эту фигуру вокруг вершины и прикрепите к другой стороне.
3. Повторите: Повторите процесс по мере необходимости.
4. Замостите: Обводите плитку многократно, чтобы создать тесселированный узор.

Использование программного обеспечения

Существуют различные программы и онлайн-инструменты, которые могут помочь вам создавать тесселяции. Эти инструменты позволяют экспериментировать с различными формами, цветами и симметриями для создания сложных и визуально привлекательных узоров. Некоторые популярные программные опции включают:

• TesselManiac!
• Adobe Illustrator
• Geogebra

Будущее тесселяций

Тесселяции продолжают оставаться областью активных исследований и изысканий. Открываются новые типы тесселяций, и находятся новые применения в различных областях. Некоторые потенциальные будущие разработки включают:

• Новые материалы: Разработка новых материалов с уникальными свойствами может привести к созданию новых типов тесселированных структур с улучшенной прочностью, гибкостью или функциональностью.
• Робототехника: Тесселированные роботы могут быть спроектированы для адаптации к различным средам и выполнения разнообразных задач. Эти роботы могут состоять из модульных плиток, которые могут перестраиваться, изменяя форму и функции робота.
• Нанотехнологии: Тесселяции могут использоваться в нанотехнологиях для создания самособирающихся структур с определёнными свойствами. Эти структуры могут найти применение в таких областях, как доставка лекарств, хранение энергии и сенсорика.

Заключение

Тесселяция — это богатая и увлекательная область математики, которая связывает геометрию, искусство и науку. От простых узоров на напольной плитке до сложных орнаментов исламских мозаик и новаторского искусства М.К. Эшера, тесселяции веками очаровывали и вдохновляли людей. Понимая математические принципы, лежащие в основе тесселяций, мы можем оценить их красоту и функциональность и исследовать их потенциальные применения в различных областях. Независимо от того, являетесь ли вы математиком, художником или просто любознательным человеком, тесселяции предлагают уникальный и полезный предмет для изучения.

Так что, в следующий раз, когда вы увидите повторяющийся узор, найдите минутку, чтобы оценить математическую элегантность и культурное значение тесселяций!